      
  


   ,               ,            .        " ",               .





 

      








      :

1.        ,          .

2.   ,      .

3.    ,     (),      .

4.      .

5.      .

6.                n=4.

7.    .      .  1995 .

8.             x


+y


=z


            .

9.        ,     .

10.    ,     (Beal Conjecture)   A


+B


=C


.   ,    .

11.       .

12.           4n+1.

13.         Ax


+1=y


.

14.         y


= x


+2 .

15.      ,  .

16.        .

17.      ,   .

18.  .

19.      .

20.     .

21.         .

22.          .

23.        .

24.       c      .

25.        .

26.       .

27.  .   .

28.  15           .

29.          100 .

30.        .

      c_city2000@mail.ru

     .




 


 ,     ,   ,  -,  !   ?   ,  ,  -,                      ,    XX     (Paul Tannery)    (Charles Henry).             ,          ,       2008 .

. 1.     










       .    ,      ,          ,        XVII         .

. 2.       








             1670     .       .



. 3.    -  1670 .  VIII    ,     










     ,       -  ?

 ,   ,  ,        !               ,    , ..      ,    ,       -  ,     .      . , ,        - , ,    -   .   ,        ,                    





























. 4.  .      

 










     !!!

. 5.     1621 .        








,  ???       !!!    ,      ,     1621               ,         !       -?    !

  !     ,          !

-    ?

 ,           ,    ,   ,   .     x, y,   z  , ( ),         !   ?

              ?

  -         !

-,       ?

  ,   .                  ,  ,   ,   -   !

 ,        ?

,   ,         !

  ,    ?

 ,     ,   25      .

 ,          ?

 ,    . ,   ,      .               ,   ,   ,   -     ,    .

        - - ,      - ?

  ,     -  ,          .       ,         .  ,      ,       ,  ,      -  ,   !

, - 

  ,      , (    ),                ,     - -        ! ,    , . , ,  -    -        !!!  ,  -    ,     ,     ,     .         , (    !!!),  - , (,  !), .     ,        

!!!   ?

 ,     ,  -    .        . ,      ,  , ,                  ,    ,       . -     ,       !!! ,            ,    ,       (!!!),     ,          .         ,        ,     (!)      .

         ,    (!!!)   .             ,          .         ,         .      ,      ,                  ?       XVII ,     , ,   ,              .

       ,         ,   ,    ,         .   ,  ,   ,               .     ,      .         ,      .         ,   ,   .  -!

   ,       ,      .      ,             . - ,  ,     -.     ,    , ,        ,          .

                     ,   ,    ,   -, ,         .   ,       ,     , (, ,   !),    ,       ,     ,          !!!

 ?   -      ,    ,   ,    ,   ,         .    -        ,         ,            ,         ,     .      ,  , ,   ,     .    ,           ,   ,           .

















       ,      .      ,       ,  :     ,     .  ,    ,              .      ,    ; ,      ,       ,        ,    .    ,         ,     -    ,          .       ,        .            ;      ,       ,        .    ,        ,     .

 (Jacques de Billy), 1670 .

   







          .       ,             !       ,       .       (!)     , (. . 5),        !           ?, ?  .  ,     .       ,          ,      ,         .        ,      1670 , (. . 3),   ,     !

,            ,   -  ,         .      ,      ,        .    ,         ,     .      ,     ,                 , ..  ,        .

 ,     ,                 ,      ,           .      ,            , ..        ,           .         ,         .

              ,       ,      .    ,           ,     ,           ,      .         ,      ,          !!!

 ?   ,  ,      .   , ..       a


+b


=c


  n>2 ,      (!!!)      A


+B


=C


,      (!!!)   x, y, z, , , x=y=z>2,    (!!!)    !   ?   ,     ? , .      -        ?      ?  . ,    -     -  ,       ,       , (. . 1),   .

    ,          ,   ,            ,        , ..      !     , (   365  !!!),  ,      ,        ,   . - ,    ,    , , ..      ().    ,       ,            !!!

       ,        ,      , ..             !          ,      -    ,           .       ,           ,  ,  ,    ,     , ..      .   , ,      ,    ,   ,     ,         .

    ,  ,  ,   ,            ,        ,        ,       !        ,    ,     ,     ,   .        ,           .  -   ,        ,    1847           .  -               ,      ! ,     e


+1=0      ,      ,    ,         .     ,  e


=-1=i


,      , ..     i=?-1     ,    .

              ,         [30]    325         ,      ,        !     1993-1995 .    ,    .         A


+B


=C


,       ,              ,    -               !       ,  ,    25   ,        !!!

            .      ,                !!!           ,       , .. ,       ,   .   ,  ,       ,    , ..         ,              . 5.

                  , ..        .      ,     ,         .   ,        ,          .       ,              ,      ,       A


+B


=C


    ,   x=y=z>2.

     ,        ,  -, (      350 !),    !!! ,  -   ,        ,     .      ,                , ..            ,   170  ,                  .

   ,    ,      -    .   ,           ,     ,                 ,     .    ,     -   ,        .   -     ,  ,           ,    ,     ,          .

     ,    ,     ,     .  ,  ,     ,    ,       .    ,           ,    . ,     ,       .  ,  -,         ,      ,    . ,     ,    .   ,     ,        ,  ,          !  -      ,          .    , ?  ,     ,   !!!

             .     :      ,        ?               .           ,      ,     .         , ..          .

    ,      ,         ,   ,     .    ,    ,            ,     ,        .                ,         .

      ,    ,       ,             .         ,  -        .    ,   ,   ,         ,         .

        ,         -          ,          .       ,          .   ,     ,          .         -  .          -       ,   ,       ,          !

   ,      ,   ,   ,               y


=x


+2   ,        XX ,       ,        .    ,  ,    ,    ,    ,     .    ,    ,     -    ,         ,          ,      .

   ,  -            .          ,              ,         .    , , ,       ,    .  ,         , ..    !    ,        ,      , ,   ,   ,           ,     !!!       ,      ,  ,      ,       .

,         ,    ,     ,          ,         .    ,           .      ,    -     ,     -   .

,    !     ,       -   (?),     -         .  ,    -     ,   ?  , .  ,    ,  ,   -    ,               ,    .

       ?  ,        ,       ,         , , :          .            , ,   ,      ,     .       ,          .

 ,  ,           , , .              :      ,     .         ,      .  -   ,   . ,    ,   - ,     .          ,          .

     ,      ,    .       .         ?          ,             !  - ,    ,         ,   ,      .  ,    ,         ,          .

,      ,     .     ,     ,  ,      , ,    .   -       ,       .          ,                  !!!

        ,         ,   ,          .  ,     ,   ,     ,     ,   ,   ,       .                ,  ,          .

 ,    ,   ,     -  ,   .       .    -  ,   :    ,  .            ,      ,     :         .            ,     ,  , ..     .

  ,      ,          .     , , ,        ,    800 ,   200             .       ,      , ..       ,                   .

       ,    :         6-    100    IV,   ,        .  ,         172 ,         ,     ,          ,      .

     ,        , (    !),  1912      , ,   ,     .       ,   ,  ,   ,           1995- ,    .  , ,   1993-   1912-,    ,       ,        .

     ,                n=4,   ,        ..    -          .             .  ,   ,   ,       .       . ,               (!!!),               ,   . 5.

                ,            4n+1.                 ,     ,          ,   ,    -,   ,   .              ,               ,      ,   ,          ,     .

,       . -       ,                              ,     .                     ,     .

         ,         , -  ,             !  ,       ,          . ,  ,         ,     ,   .

      ,       ,   , , ,   -.        ,     ,  .        ,     .   ,     , ..   ,    ,    ,    ,         .

           ,  ,   .        15,    (*)   IV .. 18, 19, 26, 27, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47,48, 69, 74.        ,   .      ,         ,        .   -     ,               .

        .         .     ,     .  ,  -   ,       ,             ,     .  -    ,       ,     .     ,      .   -   ,      !

       ,      .   ,       ,    ,   ,        ,     ,      ,    .

 ,        ,     .  ,         ,    ,        .              ,  ,    ,              .   -     ,        ,      (!!!)   ,      !

 ,              ,       ,      .      ?  ,            ,    , , , ,  ..    -? Ÿ     .                ,      -    .

       - ,       ? --!             ,            .  , (  !),   1. US$,    .   ,        ,   - ,    .         ,   ,     .

   ,   ,       ,    ,  ,     ,     .     ,     ,    ,       .               ,       ,      ,    ,          ,    .

             ,       .      , , ,   ..,        ,   .   ,               .  ?   ,     !

      ,       ,      ,      ,      ,    !          ,                 ,        .

       ,            ,    ,      ,        ,      .         ,         ,              .  ,  ,              ,         . ,        ,  ,         .

             ,   !    ,        18 (!!!)        1995 ! ,     ,    ,        ,         ,   ,      ,   -   - ,       .       ,           ,        ,    .

       ,      ,                ,                .   ,   ,              .      ,         .           ,         .

       ,      ,      !    !!!        .    , -          .

                         .  , ,          .   ,   ,                 ,     ,   ,            .   ?    , -    !




1.  


         ,       .             ,          ,        .         , ,     ,            ,         , (, ,   ..),  [1 -         ,      .       , (, , , ), ,         .        .      ,     , ,       y=ax+b,   x


+y


=r


,  x, y  , a, b      , r   .         , (), ,    ,       ,           .].

 ,   ,     - ,                , ..  ,           ,          .          ,        ,          .

  - !     ,            .        ,         .                  .       ,              .         ,   ,           [2 -  ,       , ,      .     ,      ,  ,   ,  ,    .    ,       -               .].

,       ,       ,       .        ,   ,         !            ,   .    ,    ,     , ..    ,      ,    ,            ,        [3 -     ,      ,  ,      .         ,   ,  ,     ,     ,  ,   ,    , ,  - !].

   ?              ? -       , ,  ,        .  , -   .     ,      ?           ,            .                ,                .

       ,   ,     ,     ,        .       ,        .   ,       , ..     ,          .

           .               (),     ,        .     ,       ,          .     ,      .

                ,      - .        ,  .    !   , ,  ,   ,       .     , ..                .       ,   -  -    XVII ,      -  XIV,      ,          .     Ē,             .

         ,      ,      ,     ,    ,      .   ,        ,         ,  -    .             , ,  , (    ),  ,        .

   ,             ,   ,      .    ,     .      ,    -      ,    ,            ,      .

 - ,                .          ,           , ..         .        , ,   ,        ,        .       ,   ,    ,      .

           ,                   .    ,      ,      ?             ,   ,                   ,       .

,     ,           ,           .  ,           ,                ,            - .    ,       ,           .  ,  ,    ,     ,                ,             .

  ?  (Dominique Fermat)   ,     .  1601      ,       ,     , (Fran?oise Cazeneuve),    ,       .      ,              ,     .                (Claire de Long),          [16].

   , (Pierre Simon de Fermat),    1601,      ,   1607, (  1608),  [1]        .      ,                , (1620  1625 .),       (1625 1631 .).     ,     ,            ,          .                   ,          .  ,     ,    ,    [4 -          : qui literarum politiorum pluriumque linguarum     (. . 93-94   V).]        .         ,              ,        .

          ,          , ..           .   ,            1631 .    , (Louise de Long),   ( )  . ,        ,            .

          .       ,       XIII,   ,        .     ,       ,   .   ,           .                    ,   .                   ,           .

     .                .             ,               .                      .

        ,          .             .     ,    ,       ,   ,    .     ,               .         .

 ,                      .                        ,   .         ,             ? (Claude Gaspard Bachet de Mziriac),        ,     1635 .

. 6.  








, ,     .                 ,      ,       .        ,          .       ,       .

  ,            ,                .         ,            .      ,       (Marin Mersenne)      !!!

. 7.   ?








. 8.  








     ,      .        ,                 (Ren Descartes),         ,        .    ,                    ,  ,    ,    -    ,   -    .

. 9.  








               ,     ,   ,    .               .         ,          ,  ..      ,               ,   ?   ?,   ? (Armand-Jean du Plessis, duc de Richelieu)!.  ,             ,       ,        ,           1648 .                1666 .

. 10.  








    ,  ,      .     ,             , ..            ,           .         ,       .      (Blaise Pascal)      ,       ?      ,     ,      .            ,         .

. 11.   ?








    ,           ,             .           ? (Pierre de Carcavy),     .        17     1648 ,    ,         .                   .

,    ,         ,        ,   ,     .         , , ,      .              ,           .

        , ..          . ,       .  ,             . ,        ,         ,   ,      .

         ,              .      -  ,       .   ,       .     ,  ,   .    ,      , ..  ,        .

    .  ,           , ,    ,       .    ,      (!!!)   [5 - ,       [36],     ,              (.  II).]   ,   ,    !    ,         ,    ,    ,               ,       .

          ,     ,      ?          .      ,   -     ,          ,       ,    .  ,    ,          .

 , ,    ,    .     , ,  ,      .       ,      .     .   Ē        ,           .  -,           ?

  ,   ,         ,    ,         ,   .   ,           ,    .   ,                .                        ,      1621        ,        .

   , ..        ,     , (. . 96   VI),             48  .    ,  -         ,     ,     .      , ,      ,     !   ,       ,   ,       ,        !      ,        ,       .

 ,      ,         .   -   ,            ,         -    350 !!!          ,         .      .     ,         ?     ,        ,           ,         .

     ,        .   ,  ,     !   ,    ,             .   -      .      ,     ,         ,      ,    ,       ,      , , ,    .       ,  -,    -  ,        .

            .   -   ,         ,          .                                  . ,   , (. . 5),         VIII,      .      :



1- :        ,  QQ    QQ.    .



2- :   ,   2aabb  .

3- :     AB=2Q.



4- :     aa+bbcc=a+bc.



5- :      ,  2,       .    .



6- :      C+QQ=CQ .



           ,          1670 , (. . 3   . 4.2):



      ,  -   -,    ,  ,       .      ,     ,    .



  ,      ,   .   ,    !      ,    ,     , .. ,   ,     -,    .   , ,      ,           ,        ,    .

,                     .                .   ,     1670      .      ,         ,      .

            .         ,   ,        .   ,         ,             .    ,            XXI !

           30 ,        , ..    (!!!)         !      25      -  ,       ,    . ,     ,         .                    ,         ,      .




2. 


  ,            ,    ,     ,        .           -,    ,      ,          .

           25   ,   ,   1995 .           (Andrew Wiles)[6 -     ,      1995 .       Annals of Mathematics   .       .  ,             .  !         .   !   ,   ,   !     ,        ,         ,              NASA,               ,       !].     ,           ![7 - ,  .             130 (!!!)  ,       ,  ,     .     ,    ,   ,        ,      .      .       !     ,       .     ,    !      !         ,     -   .]      ,       (Gerhard Frey). Ÿ   ,    ,         !!!  ,      a


+b


=c


     n>2,         y


=x(x?a


)(x+b


).        .     -  ,          ,      .

. 12.  








             .     -            2     !!!              18-   !!!        BBC   ,        (Simon Singh),   1997       .  ,        358 .

. 13.  








      ,       ,     20    .  ,        ,    BBC, -            ,      . ,     ,   ,       (!),   -,     !   ,           1670 .,       ,     ,     .    . [8 -         ,       , ..  48          .   1670 . ..  5                   .   -     , ,         .    ,          ,      ,          ,    .   68          , -,    ,            n=4,          (.  II). ,  ,     ,        .] (.  VI . 96).      358,  325 ,  ,      ?

    !         .         ,     1637 .[9 -   2-30      :   -,    -,   ,     [9, 36].        , ..         .        1638 .   ,     1637 ???      ?         ,       ,           ?  ,                     X  [36].               2-10   :     ,     .       45-    ,   :      ,      -,     .  ,                  .]        ,           .     ,                .   ,   ,      !     (https://www.pbs.org/wgbh/nova/article/andrew-wiles-fermat/ (https://www.pbs.org/wgbh/nova/article/andrew-wiles-fermat/)):   ,     ,        , ..         .      . ,   -        ,       [10 -    ,    -  ,       ,     . . , https://cs.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/node26.html (https://cs.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/node26.html) (Did Fermat prove this theorem?).      ,    ,     , ..        .        .       ,             ,       .].

                  .      ,   , (   ),     ,          .    ,            .         ,   ,           .

   ,       ,          ?          ,      ,     .        ,              .          ,    -,     ,   ,    ,    ,        -   .



. 14.     24.06.1993 .      










. 15.  








  , !       ,   , (  ),  , (  ),  , (  . ),   , (  ),  , (    ),          ,     ,  -     ,      .      ,             .      ,     ,       .

      ,       .  -       [11 -          (John Wallis) . . 3.4.3.].               .   ,  ,        .     , ,    , ..   ,  ,      ,      .

     ,        1621 .             !!!     .          ,   , (, -    !),               ,     ,   , (  !),           [12 - ,         ,          .           , ,  45-,     :           -   [9, 36].          ! ,     ,        .     , , ,         ,      ,     ,              . ,                ,        ,            , ,         ,       .].

   ,      , ,            , ..     ,    .        ,    ,   ,     ,      .  ,           ,       ,   ,    ![13 -    :      ,     ,    , ?       ,        ,     ,     .         ,    ,     .      , ,   .        ,     ,      ,     ,   ,      ,   .  ,        ,            . - ,        .             ,   ,    -   ,       .]

   ,        , , ,           .            (!!!) , (.     . : Vir ostentationis expers ?     酻 .  VI . 93-94).   ,     ,  -     ,    48- ,         .

             ,       ,            (Pierre de Carcavy),   .         ,       XIV    -  (Jean-Baptiste Colbert).        1666 ., ..      .

   ,    ,   , ,      ,     - .  ,   ,    , ( -  !),   , ( -     !),        ,                !

       ,         ,               (Leonhard Euler).            .          ,  ,    ,     ,         !

    ,       ,        ,          [14 - ,         1768 .    ,    Vollst?ndige Anleitung zur Algebra       . , , (     ),  ,                , ..  .     2-      ,              .         ,   ,    ,           .].     ,   ,        ,      ,              ,           [15 -           ,         .   ,      ,          .             .      .  ,          ,    ,        .           .  ,                  .].

. 16.  








       .       , (- !),  ,   x


+1 = 0  [16 - -     ,    x   ,    y , ..   ,     i= ?-1.             1


  ,      i


 ,        .     i,       ,        .   ,                .]. -       !.     , ..      ,       .   ,               ,         .

,      ,         .                   3-  [8, 30].               y


=x


+2 [36].         ,   ,         .   ,           ,       .          .       1799 .      (Carl Gau?),     4-  !

       .    ,    .  ,   ,          !  ,   ,     ,         ,        ,         ,        !

. 17.   








 - ,           ,       ,   ,   ,    ,       ()!             ,    .

 ,         (Joseph Lagrange)    ,  , (  !),   ,   1772        ,     .           .

,  ,         ,   1815 .     ? (Augustin Cauchy)         .      ,        .      ,        .

. 18.  








     ,          ,            . ,     1801 .         ,         -       . ,    Google           [3]  ,       (. . 3.4.2).

 ,   ,    ,  ,      !       ,       ?-? ? (Marie-Sophie Germain).        ,         ? (Lejeune Dirichlet)   ? (Adrien Legendre),          .

. 19.  ?










      ? (Gabriel Lam), -               .  ,               (!)    [6,38].

. 20. ?-? ?








. 21.  ?










. 22.  ?








    ,             3-  4- .    4-     ,     , (.  II).     ,        , ..          .  ,    , (   !),           ,            .     ? ,        ,          !      , ,     ,   ,    ,  ,    .

. 23.  ?








,         ,       ,        . ,      ,      ,   ,       .  ,             ,        4n+1 [11, 25].

         . ,           .    ,          ,     .   ,         -  -  ,  - ,                     ,     ,                  !     .         .

  ,                ,           .   ,   ,    .  ,            .     ,           .   ,     -      ,       .

. 24.  








   1847 ,             ,          . ,             ,          (Ernst Kummer).    ,        , -      [17 -             , , 12=2?2?3, ..     ,    ,  .    ,     , , 12=(1+?11)?(1+?11)=(2+?8)?(2+?8).         .   , (  ), ,     ,   ,   ,      .].

  ! -        !!!    , ,   ,  -   ,    ,     .         ,     ,  ,  ,    ,       .

   ,     1847            .      -            ,            .        ,      ,          .

                          ,               .         ,      ,     [18 -          IX,  14.           ,   .].

. 25. 








 ໠      ,         -      .    .       ,        ,         ,   , (. . 3.3.1).

      ,     !     ? , !  ,    ,   , .. !!!  ,     !           : ,   !   ,     ,  ,         ,      ,        ,  , ,   ,       !  -    ,      ,  -      .

,      ,          ,  ,       , , (  ),       .              .      170 ,     .                 .      ,         .         .

,  ,          -  , ,   :    ?   ,            ,     ,     .                  ? [13, 29].      ,          .

      ,         .        ,  ,        .       , ,        ? (Fran?ois Vi?te),        III.      ,       .

. 26.  ?








         ,          .     ,     ,                 : , , ,  .. ,     -,         [19 -     ,        , ..   ab ? ba [34]. ,           ,   ,       .      ,     - ,      ,      .].       - ,     .      ,            .  - ,         , , ,   .    !    ,  .    ?    ,       ,            ,      ,   ?

. 27.  










  (Georg Cantor)    ,   ,  , ,  ? (Henri Poincar),         .         , (  ),  1904  ,      .   ,    ![20 -  -         ,      -?                 - ,     .      ,        ,       .       ,         .        ,      !!!]     ,       .   ,         ,         .         ,    .           .  - ,   -  .

 -       (David Hilbert),  ,      ,     [21 -       ,     N       x





, ..  N=x





+ x





++ x





.         1909 ,   1920 .      ,        .    1942 .   . .    ,   .                , ..     .]. ,   ,     , ,   ,  .   ,     -      ,           ,   ,   a


+b


+c


=d


 ,     a


+b


=c


  n>2,    ,     - ,   [22 - ,   ,   95800


 + 217519


 + 414560


 = 422481


;   2682440


 + 15365639


 + 18796760


 = 20615673


.       27


+ 84


+ 110


+ 133


= 144


.  ,         ,        .].

. 28.  








     XX      23 , ,   ,       .        ,       XXI        ,       .   ,        ,   .

        ,      ,      ,  ,         ,    ,      , (  ),  ,       [23 -  ,    ,       ,  .       .    ,      .]. ,          ,          .   -          - ,   -  ,     ,  ,       .

  ,     ,       .                   - .          . ,          8    ,   5   ,   ,   , (   ),  ,     ,       ,     n  k, ,  n + k = 0   -    !

,        .     ,  -    ,       ,         [24 -   ,          ,     , ..         .     ,   ,      .].  ,   , ,        ,    .        .       ,              .

          ,           .    ,           ,   .  !         (???).  ,       ,  , ..         ,    ,   . , ,    ,        ,    ,                  [25 - ,   , (  ),            [8],    ,    .      ,           .          ,          . - ,      ,   ,        .].

       , ..    (x)    (y)    (z), ..  y=z


  x=log


y.             ,           .     -,   ,    !       ,     ,   .     , ,         - ,            .

      ,  ,         ,  ,         .         ,     ,  (!)    ,       [26 -       ,            .  ,  ,  ,         (. . 4.3)     a+bc=a


+b


c


 (. . 4.4).].  ,       ,      ,     .       ,          ,         .

. 29.  








, ,    ,         ,                 ,             ,      .  ,   ,    ,        .       ,   -  .

    (Andrew Beal)[27 -         .       Andrew Beal,       ,      Beal ()  Bill ().]   ,          .        5 . $,  100 . $,   2013    . ,   ,      .   ,               ,   ,       , ..  -        ,  ,                       -     (. . 4.5).

         -        ,         ,       [28 -       15.06.1641.  :         .          ,      ,     ,       ,      ,    ,             [9, 36].      ,              , ,      ,                .]. , -     ,      ,     ,   , (,      ),        ,     .    ,   -   ! -   !!!

  ,     !    ?  !      ,        , ..       .      - .       ,         ,      ,           .        ,           ,         [29 -       ,         ,             ,     ,    .     ,     .].

     -    ,     ?      -  . , , ,          :

  x


?1  x?1,   x


?1  x1,   x


+1  x+1.

,  ,     ,       ,          .          ,        :

   ,              , , 

221


=151114054


+53969305 


=82736654


+137487415 




    ,     ,            ,   ,  ,     ,      ,   .     ,        [30 -      : (a


+b


)?(c


+d


)=(ac+bd)


+(ad?bc)


 = (ac?bd)


 + (ad+bc)


.     4 + 9 = 13 and 1 + 16 = 17.    13?17 = 221 = (4 + 9) ? (1+16) = (2?1 + 3?4)


 + (2?4 ? 3?1)


 = (2?1 ? 3?4)


 + (2?4 + 3?1)


 = 14


 + 5


 = 10


 + 11


;   221


 = (221


)


 = 10793861


;     221


 = (14


 + 5


)?10793861


 = (14?10793861)


 + (5?10793861)


 = 151114054


 + 53969305


 = (10


 + 11


)?10793861


=(10?10793861)


 + (11?10793861)


=107938610


 + 118732471


;      ,    , ,  : 221


 = (14


 + 5


)?(10


 + 11


) = (14?10 + 5?11)


 + (14?11 ? 5?10)


 = (14?10 ? 5?11)


 + (14?11+5?10)


 = 195


 + 104


 = 85


 + 204


; 221


 = 221


?221 = (195


 + 104


)?(10


 + 11


) = (195?10 + 104?11)


 + (195?11 ? 104?10)


 = (195?10 ? 104?11)


 +(195?11 + 104 ? 10)


 = 3094


 + 1105


 = 806


 + 3185


; 221


 = (195


 + 104


)?(85


 + 204


) = (195?85 + 104?204)


 + (195?204 ? 85?104)


 = (195?85 ? 104?204)


 + (195?204 + 85?104)


 = 37791


 + 30940


 = 4641


 + 48620


; 221


 = 221


?221


 = (3094


 + 1105


)?(37791


 + 30940


) = (3094?37791 + 1105?30940)


 + (3094?30940 ? 1105?37791)


 = (3094?37791 ? 1105?30940)


 + (3094?30940 + 1105?37791)


; 221


 = 151114054


 + 53969305


 = 82736654


 + 137487415


].

,              ,        .                 ,      .        IQ       .              ,          ,        , (. . 4.4.).     ,       ,           ? ,   ,     ,  , ..            ,           .

          2008 . [30],        ,   ,     ,    ,       .           ,    ,     .     ,  , ,     .         ,     ,         .

                 ,   -  .       ,        ,            [31 -       ,   ,       ,  ,   , ..       ,       .     ,    ?     .       ,   ,    .    ,    ,     .   ,        ,     .       , (  1750 .),     , ( ),     .      ,    -     .     ,       ,   -   , (.  IV,  1660, 1663  1680).].        ,          ,             .

-      ,         (. . 5    . 1).              ,        ,   1670 .     ,        ,          ,   . ,                  .




3.  ?





3.1.   



              .  , , ,        ,         ,         .    ?   ,          ,       .  , ,  365,    ,     . , ,                  , ..         .

,               ,        .      ,        .   :     ?,      ,      ,        ,    [30].

            ,                 ?    .      , ..   ,       .         ,      .        :



        .



  ,       , ..  ,     ,     .     .       :



   ,    ,        .



, a + b + c = d,  a, b, c  , d      [32 -             .  ,  f(x,y,z)      x,y,z.           ,   ,  ,    ,  ,  ,        .     ,          ,       ,       .].

 ,         ,        ,      [13, 29].   ,      ,         ,          ,   .

       ,  :



   ,    .



        ,     ,     .         ,        ,      [33 -      ,         .        ,    ,  ,    ..      ,   ,    ,   ,          ,   .          . 5.3.2,          ,           ,      .      ,           ,     ,     .].

. 30. 








           ,       . ,       ,            ,         ,       : , ( ), , ( ),   (,   ).     .

. 31.  








        ,      ,    XVII    (Gottfried Leibniz).        ,        .  ,   ,           [34 -        ,       .     ,      .       , ..    ,      ,     .        -       .      ,       .].

          :



     ,       ,      .



         : ,  , ,   ..    ,   . ,         .      ,   .        ,           .

  ,      .          ,  . ,        ,    .      ,         ,   , ..     ,    ,  -          .       ,              . , ,      ,              ,    [35 - ,  ,   ,     ,   ,      .  ,         ,       .  ,        ,       .          ,   .         .].

   ,       .           , ..         ..       .  ,      ,    ,      -  .

 ,  ,      (Giuseppe Peano),        ,         , ,       .         ,   ,          ,         , ..  .

. 32.  








        ,      ,          ,           .    -                ,     .  ,   ,   -  ,            .                  ,    ,      ,       [36 -                  , (  ,     .),      ,                ,   .          ,                  .      ,       ,     .       ,      ,     ,        .].




3.2.  





3.2.1.  


       XIX   [37 -    :(1) 1   .(2)     n   ,  n'  ,   n.(3)  m' =n'  -   m,n,  m = n.(4)  1       , .. n'    1.(5)   1    P,     n,   P,     n'    P,       P.].     ,      .

 1.   ,   [38 -         :1.   <>,       . 2.    ,   , ( VII, .).].

 2.     .

 3.      ,            .

 4.        .

 5.  -    , ( ),    ,       N, ,        N  , ( ),         .

 6.          ,     ,          .

       ,        .            .

,     ,       ,            .      ,      ,  ,      .

        .      ,   ,         .

    ,     .

   ,   ,      .  ,          ,          .            ,      , ,     .

            ,   ,  - ,     ,    ,         .

       ,         .           ,    .              ,          .             .

   ,    0  9     ,   ,  :     1=1,  ໠  2=1+1,  軠  3=1+1+1  ..   .   9   99     , , 23=(10+10)+(1+1+1)    : , ,    .   99   ,     ..  ,          .     ,      ,    [39 - ,        , (), ,      ,   ,     .  , ,   ,        ,       ?          ,   ,       .].




3.2.2.  


         .       :

1. : n = (1+1)+(1+1+1) = (1+1+1+1+1)

2. : a+a+a++a=a?b=c

3.   : a?a?a??a=a


=c

4. : a+b=c ? b=c?a

5. : a?b=c ? b=c : a

6. : a


 = c ? b=log


c

        .

 1.     ()        (). 

 2.      ,    .

 3.      .

 4.      .            .

 5.       .    ,   .

 6.      ,      [40 -  ,       ,        . ,   ,             .     6-     .                   .].




3.2.3.   


       ,    :

1. : a+1>a

2.  :a?1=a:1=a

3. : a+b=b+a; ab=ba

4. : (a+b)+c=a+(b+c); (ab)c=a(bc)

5. : (a+b)c=ac+bc

6. :a=c ? ab=bc; ab=bc; a:b=c:b; a


=c


;

log


a= log


c

   -              .                  ,    ,          ,     .               .     ,      , ..           ,          .

      ,     ,   .    ,      ,    ,      .     ,   ,  .          .    ,       ,     .

. 33.   









3.3.   





3.3.1.    - 


         ,  IX,  14:

     <>  ,        ,    <>.

 :   A      B, C, D; ,  A      ,  B, C, D.         ,       : IX-14 ? VII-30 ? VII-20 ? VII-4 ? VII-2.         . Ÿ   :

 A=BCD,   B, C, D , ().      E,   B, C, D,  ,  A=EI,   ,     A=BCD    E.    ,         , , BCD=EFGH,  E, F, G, H  ,   B, C, D.  A:E=BCD:E=EFGH:E=FGH, ..    ,   A     E       ,    ,    .         ,       . , -    ,             ,           ,    .

      , ,        ,     ,     .     :

            .

  ,    A,  a


b


c


,  a,b,c,    ,        ,    ,            ,  a,b,c,, ..      A          [11, 25].

        .      ,         ,          .     ?              ,    - .   - ,       ,  - .

       1659 .              ,          (Christiaan Huygens),     1666 .   .         exist ,     [9, 36].

     .  

1.   ,   ,       ,  , ,      .         .         , , :       ,     .  .  II.

              .       ,     .         .    ,         ,       .        .

2.           ,            ,  ,      . ,     ,    ,    1  ,   <>  ,     . , ,     ,    ,             ,      .          :    ,      4-,     ,       ,  ,   ,  ,  ..    ,      5,        . , ,      , ,   .       ,           .

         1760 . [38],               [23].          .  3.      ,    ,             ,  ,        ,   .           , ,     ,        .        ,    .

  22     1636              ,    , ..     (., , ,   ..).       . ,            .    -     ,                 ,         ,    .        .                .

  ,     ,       ,     ,       .            .  ,       ,      .    ,      ,       .          ,          ,   .  -                           .




3.3.2.  


,     , ,      A, B,     :

A=B  A=pp


p


p


; B=x


x


x


 ; n?1; m?1 (1)

    A, B          p


  x


.    A, B       ,  . . ,         p


  x


,   (1)    .  (1)  , : pQ=xY  p, x      p


, x


; Q=A/p; Y=B/x (2)

  p, x , ,  p>x; x=p?


,  pQ=(p?


)(Q+?


)  ?


=px; ?


=YQ (3)

 : Q?


=(p  ?


)?


 Q?


=x?


 (4)

 (4)      (1).           x.      (4)  ?


    x, .. ?


=px    x - ,  p   .  Q     x, ..        p


,       x.  ,    (4)   x,    .      ,   , ..          .    ,      A=B,     ,  ,          A


= Q?


  B


=x?


;          .  ,  ?


=(px)<p,  ?


=(YQ)<Y,     (4)   (2)  : A


= B


,  A


<A; B


<B (5)

   ,     A, B,     A


, B


.   (5)   ,    ,     A


=B


,  A


<A


; B


<B


 (6)

  ,     ,   

A


=B


,  A


<A


; B


<B


    (1)  . ,    (1)       [41 -       ,   . ,   ,           .   ,      , .  I.].           , ,   ,      ,            ,      ,       ?

  ,     , .. ,       ,     ,          ?  ,    ,    ,  , ,     ,      ?

    ,           ,     -    .          ,       .                .




3.4.  





3.4.1.       


        - ,     :

    , ,   ,  ,    25.

              (John Wallis),         ,     .    ,       ,        ,  - ,     , ..      .         (Andr Weil)     , -    [17].    , ..     ,           .       ?         ,            . ,    p


=q


+2    p=3, q=5.    , ,     

P>p=3, Q>q=5,   

P


=Q


+2 (1)

 ,  Q>P,  

Q=P+? (2)

 (2)  (1), :

P


(P1)2?P?


=2 (3)

      ,  ,  ?>P,   (3) . ,    ?=P,   (3) :

P


(P4)>2,   , ,    ?


=?P. ,  ?=P+?


  (3), 

P


(P4)4?


P?





= 2 (4)

-   ,  ?


>P,     ,   ,  (4)  :

P


(P9)>2,  -  , ,    ?


=?


P,   ?


=P+?


  (4), :

P


(P9)6?


P?





=2 (5)

 -     ,        . ,   ?


=P     P


(P?K


)>2.      K


,   ,   K


<P  P>3,  P


(P?K


)>2,   K


?P,    , ..  P


(P?K


)?0.     , ,        P>3, Q>5      .

           ,   .   ,                       .   ,          - ,             ,   :

    , ,   4,  ,    4  121.

 ,  p


=q


+4       .




3.4.2   


,     - , (. 3.3.1),        .                   ,    -  .

   ,  ,  ,                         . ,      ,        ,    1815 .,     .

            1636 .  :

 <>  

,    ,

, 2, 3  4 ,

, 2, 3, 4  5 ,     [31].

         ,      .        m


=i+(k?2)(i?1)i/2  m   , i   , k   .

 , m


=1; m


=k;    i  m


    ,    . 1.

  m


       ,   ,          .    m


         . ,   i=2    ,   i=3   ,   i=4     .., ..         .

. 1.  








  ,          k k- ,  . ,   10,    .  11=10+1, 12=6+6, 13=10+1  , 14=10+3+1  , 15    .         .  ,        k.       ,     ?

     41.           36,         ,     4- , .. 41=36+3+1+1    . ,    36    , , 41=28+10+3,  41=21+10+10,   -      ,   .

     ,   -   ?           ,    ,   k k-      S-.    , ,     5, 8, 14,    7, 15, 23,    9, 16, 31  ..           , ..        .

,   ,  , ..       N,   ,   k+1 k- .  ,         - k-  m


 m


    

N = m


 + ?


,  ?


= N? m


 (1)

 ,  ?


   S-,          N.    ,        41, ..     N = m


 + ?


= m





+ ?


;  ?


= N ? m


; ?


 = N ? m





  ..  ?


, ?


  ..    S-.           , .. 

?


 = N ? m


 = N ? k  ?


 = N ? m


 = N  1 (2).

 ,     ?


  ?


     S-,        N       k+1 k- .  (1)  (2) : N?m


=S


 (3).

,       N      m


,    ,      S-. ,        ,     ,     ,   ?

        ,                    .    ,     ,       99%,   1%    ,    ,               .[42 -        Google   MEMIRES DE LA CLASSE DES SCIENCES MATHTMATIQUES ET PHYSIQUES DE LINSTITUT DE France. ANNEES 1813, 1814, 1815: https://books.google.de/books?id=k2pFAAAAcAAJ&pg=PA177#v=onepage&q&f=false (https://books.google.de/books?id=k2pFAAAAcAAJ&pg=PA177). ,      . 177   DEMONSTRATION DU THORME GNRAL DE FERMAT, SUR LES NOMBRES POLYGONES. Par M. A. L. CAUCHY. Lu ? lAcadmie, le 13 novembre 1815 (. . 34, 35).     43 (!!!) ,        ,        .       n=7        .    ,  ,      , ..       ,         .  ,       ,   , ..    .          ,      ,       .     :   ,           .]

.34.    

  








. 35.   43-   

  











3.4.3.  -


    :

    ,     ,            .

      61, 109, 149,  433 [36].

,    ,      ,          .        Commercium epistolicum . . 37-38.

. 36.  








         ,    ,     .      ,   ,    ,         ,       -  .        ,             .

. 37.    

Commercium epistolicum








    ,          ,        .         ,   .  ,      ,    -   1659 . [36]:  ,  -       ,   - ,         ,     .             !

. 38.  64 Commercium epistolicum,

  








        .                ,          . ,       x  y,   Ax


+1=y


.  A=29,        [32]:








         , ..  a


 a


  : 5/1; 11/2; 16/3; 27/5.    70/13.    :

X


?29+


=(13?29+70)


=1820?29+9801; x


=1820; y


=9820

   ,           A.   ,     ,  a


      ,   a


.      ,         [7, 14, 19, 23, 26, 32],         .         ,    :        ,        ?

          , ..           ,      ,    .    ,       ,      ,          ,    !!!           ,    ,       , ..    ,  : x=2mz,  m<x, z<y, Am


?1=z


.             ,     ,     m=13; z=70; x=2?13?70=1820; y=9820.

,            61, ..  ,   .      ,  ,  -   ,       .  -         ,     ,     ,        .      x=2mz,  m  z     61m


z


=1.      :

61m


?z


=1

m=(8m


z


)/3=(8?722+5639)/3=3805; z


=61?3805


?1=29718




61m





?z





=3

m=(8m


z


)/3=(8?722+5639)/3=3805; z





=61?722


?1=29718




61m





?z





=9

m=(8m


z


)/3=(8?722+5639)/3=3805; z





=61?137


?1=29718




61m





?z





=27

m


=(8m


z


)/3=(8?5+38)/3=26; z





=61?26


?27=203




61m





?z





=81

m


=(8m


z


)/3=(8?2?1)/3=5; z





=61?5


?81=38




61m





?z





=243

m


=2; z





=1

       ,         .   ,      ,     ,      .    ,    m  z,   61m


z


=1, ,      m


<m  z


<z,   61m





z





=3,    m


<m


  z


<z


,   61m





z





=9,  ..     m


<m


  z


<z


.  3,   ,   6461, ..    61     . , ,     ,    , ..   ,      m


z


.   : m=3805; z=29718;

x=2mz=2?3805?29718=226153980;

y=?(61?226153980


+1)=1766319049

,          ,           ,     .         ?61,       ,        , ..    .  ,      ,   ,    .       ,        ,       ,   ,       61m





 z





=243,        .

   ,           ,         .     ,              .   ,     ,          (!!!)  ,       -.      ,     ,      ,     ,     .       ,    ,      ,         ,       :

https://www.youtube.com/watch?v=wFz8W2HsjfQ (https://www.youtube.com/watch?v=wFz8W2HsjfQ)

https://www.youtube.com/watch?v=cUytn2SZ1n4 (https://www.youtube.com/watch?v=cUytn2SZ1n4)

https://www.youtube.com/watch?v=ZhVNOgaBStY (https://www.youtube.com/watch?v=ZhVNOgaBStY)[43 -       , ,       ,    .]

              ,            1636 ., ..        .   [8, 30]   -     .       1983 . [17]     .




3.4.4.     385 


    1636 .     :

  -,    -,   ,    .

        ,             .                 1670 ., ..      .  ,       1637 .,   .

          II.       ,                     ,          ,    .

 ,     ,    ,    ,    ,  ,    

a


+b


= c


 (1)

 a, b  c     , ..    ,       ,    ,   (1)        ,  ..   ,    ,            .      ,     (1)        c


,   (1)   

c


= c


(x+y) = a


+b


 (2)

    ,         (1),   c, x, y,   x+y  , ..

 = x+y = p


+q


= z


; x = p


; y = q


 (3)

  (1)   :

(z


)


=(z


)


(p


+q


) (4)

 ,  ,     a, b  c,   (1),     p<a, q<b  z<c,   (3)

p


+q


= z




          ,       (1),      ,    .        ,    ,       (1)  .

  ,            ,           385 ,     .       , ..             .   ,    ,       ,            ,           .    ,  ,       ,          (.  V, . 41).

,       (  !):



1)   .

2)      

p


=q


+2.

3)     .

4)    - Ax


+1=y


.

5)    a


+b


= c


.

6)      

  4n+1=a


+b


,     

 ( IV,   1680).



  350 (!!!)      ,          !




3.5.  



        , ,          ,             ,      .                  ,       .        .  ,                 .         .




3.5.1.    


     ,        ,    :

׸               ,     .

     .   x = y  :     .

,         : 40 = 3.     :

׸    .

׸     .

   n   :

n = 2


(2N  1)  N    ,

w  .




3.5.2.  


       ,      .   -            ,        .      :



             ,      .



    W


 = W


,  W


  W


        .       ,          ,      ,       .




3.5.3.   


׸      a  b



 a < b ,  a  b = a  ,  ,              .



 a = b = x

  a + b = x + 1,   a  b > x + 1,

 a  b = x + 1,   a + b > x + 1.

   , 

(a + b) + (a  b) = 2a = a + 1

  ,       

     .



׸      a


  b






 a < b ,  a


 b


 = a


.

 a = b = x, :



   n:

a


  b


 = a  b+ a + b+ x(n  2) + n  1;

a


+ b


 = xn + 1;



   n:

a


  b


 = a  b + x(n  1)



      





ab = a + b



      



a : b = a  b



        

  



a


 = a ? b



       

   






?a = a : b




3.6.   



              ,                 .       .    -         ,    ,        .        ,    , :



          .



     , ..      ,            ,      .  ,        ,   ,    .   ,      ,   , ..   ,       .

    z


=x


+y


.     ,     ,    ( )   z=a


+b


, ..            ,       .     ,   ,     ,     ,      .   :    ,     ,       ,      .      



(a


+b


)(c


+d


)=(ac+bd)


+(ad?bc)


=(ac?bd)


+(ad+bc)






  (a


+b


)(a


+b


)=(aa+bb)


+(ab?ba)


=(a


?b


)


+(ab+ba)


 ,   ,     ,        , (       ),   ,  (ab?ba)


=0,     ,                 .    ,   ,        .    ,    ,        4n?1.   a


?b


=c; ab+ba=2ab=d; (a


+b


)


=c


+d


   :



z


=(a


+b


)


=(a


+b


)(c


+d


)=x


+y




 a, b   ,      c=a


?b


; d=2ab; x=ac?bd; y=ad+bc ( x=ac+bd; y=ad?bc).



 ,  ,    z


=x


+y


       ,      a, b   .

    ,      , :



   4n+1           ,      ,        ..  .




4.  





4.1.    





4.1.1.      


          1670 .     , (. . 3 . 96   V).    , ..     ,        .  ,             .     ,      1995 .      .

    ,       (???) y


=x(x?a


)(x+b


),  a


+b


=c


.    (Kenneth Ribet) ,       . ,         ,       ,      .    1995   ,     ,   .

   ,                 !!![44 -  ,        ,    , ..       a


+b


=c


           ,     .      a+b=c+2m     ,              a


+b


=c


, ..   y


=x(x?a


)(x+b


)    ,          .           ,              .      ,                .               , ,  ,   a+b+c=d,     a


+b


=c


     ,      abc=d.   ,       ,    , ..          .]     .     ,    [45 -    .   ,     1993 .: Even explaining it to a mathematician would require the mathematician to spend two or three months studying that part of the manuscript in great detail        2-3       . .  Nova http://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/andrew-wiles-fermat.html (http://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/andrew-wiles-fermat.html) ,       ,       .],     , (,  ),     ,    130  (!!!)   Annals of Mathematics.  ,      ,            ,    [46 - ., ,    ..     ,   ..            .    ,   ,       .   .    ,    ,    ,  ,       1995 . -         ,         .],      ,  -          .

     , ,  ,       ,        ,        .    -,   , ( . .  ),    , (  ), [47 -    3


+4


=5


         : 3


+4


+5


=6


.   .  22 .2.].   ,            ,  .

    ,          ,      ,     .        ,   ,  ,          [48 - ,      -,             .                   ,    ,     .].       ,           ,      .        ,              [49 -          [6], [38]     ,         4n+1      .           .             25.09.1654 .     ,                .].

        ,       ,         ,       .  ,  ,       ,   ,     ,     ,  ,         ,                .

    ,                    ,    ,           ,        .    ,          .

           ,        ?    ,    ,     ,           .        ,            170 .     ,   ,     ?

,                   (Jacques de Billy) [36].      ,          ,     ,    ,          .              ,   :          ,      .

   ,          ? ,                  .   -   ,           !   ,        ,           ,      ,     .

   ,      .  ,    ,    ,       .         ,     ,      -    .    ,   ,       ,    ,           .  ,      ,   ,            ,    ,         .     ,     , ,        [50 -             ,                 .  ,            ,  ,   ,      .    ,       ,     -      .      ,    ,       ,         . ., ,  30  . 2.].

      ,  -    ,       ,    ,       , ..       .        ,   ,        1670      ,     ,         .           8   II  ,       ,     . - ,                          .       ,           .




4.1.2.  


      ,       III,      ,   XIV  XV .   ,      ,       ,   13 ,       .             300 . [27, 2].

 1621                 ,     ? (Bachet de Mziriac).         .    189      .      ,     .    ,      ,     ,   , ..     ,   ,     .    -    ,     ,    ,  .

           ,   ,  ,   ,            .  ,                   . , ,  ,   -       ? ,     ,          .   ,          .

  ,   -  ,             .         ,   ,    ,     ,     . ,     ,     ,    ,       ,       ,      .

       8     :

        .

    16             4


=20


/5


=16


/5


+12


/5


,       [51 -      .     16   . ,  1-  x


,  2-  16?x


.      x   ,     16-;    2x4.      4x


16x+16.    16?x


.          .  5x


  16x  x   16- .   256/25,   144/25;    400/25,  16,     [2, 27].].       ,     ,            ,   ,     .

 ,      ,           , ,    -   . ,         ,       , ,      ,          .

,    a


+b


=c


   c     a  b.    ,   c   : c=pp


p


p


;  c


=p


p





p





p





=p


(p


p


p


)


=p





N




  ,   c


   a


+b


   ,       p





      [52 -  c


=p


N


  p


, (    p





    c),      , .. p


=q


+r,   r   ,  c


=p


(q


+r)=(pq)


+p


r,       q  r ,  p


r    ,   c


       .].      ,           .     , .. -               .

  ,      ,                  : p





=(x


+y


)


=(x


?y


)


+(2xy)




..         .       [53 -           25.12.1640 . [36, 9].    . 2-30 :   , (  4n+1),     ,     ,    ,      ..  .        .       , (. 2-20).             22  III  .           :              ;      ; -  -    ..  .    , , ,   -  ,    :      ,      ,   ,    ,         . , ,   ,      ,     ,              ! ,             ,        ,       .]:

    4n+1       , ..  p=4n+1=x


+y


      .     ,    4n?1,       . 

 -  ,         .          ,              [54 -   , ..       ,       4n+1 (  III).        ,          . ,    ,     . , .  172   IV ( 1680).].       .      c       4n+1,    c


        .        p


 ,      :

c


= N


p





=(Nx)


+(Ny)


  x=u


?v


; y=2uv; a=N(u


?v


); b=N2uv

 ,      ,     N,    c   ,                 [55 -           .       .      ,     .            LVII 1643 . [36].  .7 -  :  ,      ,       , .          ,        ,   . .  . 5.1   73-74.].      x, y, ..        4n+1    .           .

 , ,       ,          a


+b


=c


 ,    .    ,         . ,        1652 ,    -   ,          ,       .

,        ,              ,     ,       .               ,     ,    ,      .

    ,                     , ..    a


+b


=c


       a


+b


=c


    n>2.

         ,     .           8  II  :

Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. 

. . 3    . 1.




4.2.  



          .          . ,            .        ,           . .          ,                 :

     n>2        a, b, c   

a


+ b


 = c


 (1)

   , ,   a, b, c,  (1),   ,   ,            .        ,         ,      (1)     .       :

a + b = c + 2m (2)

 m  .

   (2) ,  a?b, ..  2a


=c


,   . , a<b<c   ,  (a


+b


)>c


,  (a+b)>c.   (1)     a, b, c,         ,   a, b, c     ,      .   (a+b)>c   (2),   2m [56 -    (2)         .  IV   1652.         .       2008 . [30].].

      n=2,    a


+b


=c


.     (2)       (1), (2),      .   ,      (2),     (1)  (2) .  (2)  :

{a


+b


?c


}+2(c?b)(c?a)=4m


 (3)

    (3), :

A


B


=2m


(4),

    (2): A


=c?b=a?2m; B


=c?a=b?2m (5)

      2m


,     A


B


.    m     : 1?2m


=2?m


=m?2m.    A


=1; B


=2m


; A


=2; B


=m


; A


=m; B


=2m.   (5)  a=A


+2m; b=B


+2m;  (2) c=a+b?2m;      :

1. a


=2m+1; b


=2m(m+1); c


=2m(m+1)+1

2. a


=2(m+1); b


=m(m+2); c


= m(m+2)+2 (6)

3. a


=3m b


=4m; c


=5m

 (6)         m.    m ,      .  ,  m     ,      [57 - ,  m=p


p


,        :A


=p


; B


=2p


p





; A


=p


; B


=2p





p


; A


=2p


; B


=p


p





A


=2p


; B


=p


p





; A


=p





; B


=2p





; A


=p





; B


=2p





].

 ,           ,       m,   ,      .        ,      (2)           .

    (1)   n=2,         n>2,   (1)  (2),      (2)   n.     ,    [58 -  (7)   . ,       1984     -    .     , ..     ,  ,        ,          ,  ,          [30].]:

(x+y)


=z


=zz


=(x+y)z


=xzz


+yz


=

=x(x+y)z


+yz


=x


zz


+y(z


+xz


)+

(xy)


=z


=x


y(x


+x


z+x


z


++xz


+z


) (7)

   ,   n ,        (x++z)


    .    (7)     (2)   n  .

[a?(c?b)]


=a


+{b


?c


+(c


?b


)}?(c?b)[a


+a


2m++ a(2m)


+(2m)


]=(2m)




  

(c


?b


)=(c?b)(c


+c


b++cb


+b


), :

{a


+b


?c


}+(c?b)[(c++b)


?(a++2m)


]=(2m)


 (8)

 (8)   (2),    n,    ,   c?b=a?2m  (8)  [59 -     (9)   ,      (2)     ,      (8)    (2),    n.      ,    (9),              (8)     (7).      ,    ,         ,     - . ,      ,       , ..     ,    .]:

{a


+b


?c


}+(c


?b


)?[a


?(2m)


]=(2m)


 (9)

     a, b, c, n, m, ,   .    ,     ,  {a


+b


?c


}  ?          , ..  (1)  (8),   .  ,   (1)  (3)  ,          ,    n>2     . ,     (8)   (1),     .

  ,         ,    (4),     .   ,     -  (1)  (8),     (8) ,          (c?a) [60 - ,  ?a=b?2m,      (8)    : (c ++ b)


 ? (a ++ 2m)


 = 


 ? a


 + c


b ? a


2m + c


b


 ? a


(2m)


 +  + b


 ? (2m)


; 


 ? a


 = (?a)(c++a)


; c


b ? a


2m = 2m(c


 ? a


) + c


(b ? 2m) = (c ? a)[2m(c ++ a)


 + c


]; c


b


 ? a


(2m)


 = (2m)


(c


 ? a


) + c


(b


 ? 4m


) = (c ? a)[4m


(c++a)


 + c


(b + 2m)]; b


 ? (2m)


 = (b ? 2m)(b ++ 2m)


 = (c ? a)(b ++ 2m) 


;   ,    ,     : c


b


 ? a


(2m)


 = (2m)


(c


?a


) + c


[b


?(2m)


] = (c ? a)(c ++ a)


(2m)


 + (b ? 2m)(b ++ 2m)


c


 = (c?a)[(c++a)


(2m)


+(b++2m)


c


];   ,    ( ? a)   .       a+b=c+2m.        n.     (10)    A


B


C


D


 = (2m)


,  A


 = c?b = a ?2m; B


 = c ? a = b ? 2m; C


 = a + b = c + 2m; D


    n ? 3 [30].].  :

A


B


E


=(2m)


(10)

 A


= c?b=a?2m; B


=c?a=b?2m; E


    n?2.

 (10)  ,       ,   {a


+b


?c


}    (1)  (8).        ,      . , 

A


?B


?E


=2m


?2


m




        

A


B


=2m




E


=2


m




  ,     ,  A


B


=2m


 ,      m   (1)    .   n>2,     ,   -      , ..  , (       ),        - (10),       ,  [61 -  (10)      (1), .. {a


+b


?c


}=0,           -.   ,    ,        ,  A


B


 = 2m


   E


 = 2


m


,   E


         - ,    n?2, (      c?a),          .       ,       , .. E


     , (a, b, c, m)   A


B


      .].         ,      ,         (10)  , - ,        {a


+b


?c


}=0  , ..  (10)      (1)    (2). ,   a, b, c,   (1)  n>2,   ,     .[62 -             (10),     .             . ,  [30]            .  ,    (1)       , ..        ,   .         ,   ,   .       ,          (2),      (4), (5), (6),     (7)  ,  ,      . 4.4!!!]

,          .     ,        ,           .               8-   .   ,         .      ,        ,    ,            .          ,  !

          ,   , ..   ,        .    ,      ,  - ,    ,        ,      !           ,      .    ,     ,       .               ,  , -,        ,                ,   .

   ,     ,     ,     .  ,     ,    .   ,  ,        ,      .         .   ,      ,         .  ,            ,        .

  -.  -   ,    ,          ,      ,       .           ,           ,       ,  .  ,        ,       -   . ,        ,     ,        .

     ,      -  , ,  ,        . , ,         ,          ,           .      .        ,   ,       ,       !   -          ,     .

,         ,          .    ,  -  ,  ,        ,    !  ?   ,         . ,     .     ,   ,      ,       ,    ,        ,     ,       ,       .

    ,        .      , ..            ,     .     ,    -   .    ,        -    !




4.3.    



           ,    ,         ,     ,    .

 1.    n          a, b, c, ,  n=a


+ b


c


. ,

n=7=6


+14


15


=28


+128


131


=568


+5188


5219


=

=178328


+5300145928


5300145931


  . .

n=34=11


+13


16


=323


+3059


3076


=

=247597


+2043475805


2043475820


  . .

    ,       ,     : a


+b


?c


=0;             .    ,       ,             .

           ,  -      ,    ,      .  ,          , (, ,   ),   , ..      ,  ,       ,   .   ,       ,   1    ,      ,            ,     ,      .          ,        .       2  3,      ,      .         1,           ,       ,      .          1, 2, 3   ,            . ,   1  :




  .


   .

   ,     (https://www.litres.ru/uriy-veniaminovich-kraskov/chudesa-arifmetiki-ot-p-era-simona-de-ferma/)  .

      Visa, MasterCard, Maestro,    ,   ,     ,  PayPal, WebMoney, ., QIWI ,       .



notes








1


        ,      .       , (, , , ), ,         .        .      ,     , ,       y=ax+b,   x


+y


=r


,  x, y  , a, b      , r   .         , (), ,    ,       ,           .




2


 ,       , ,      .     ,      ,  ,   ,  ,    .    ,       -               .




3


    ,      ,  ,      .         ,   ,  ,     ,     ,  ,   ,    , ,  - !




4


         : qui literarum politiorum pluriumque linguarum     (. . 93-94   V).




5


,       [36],     ,              (.  II).




6


    ,      1995 .       Annals of Mathematics   .       .  ,             .  !         .   !   ,   ,   !     ,        ,         ,              NASA,               ,       !




7


,  .             130 (!!!)  ,       ,  ,     .     ,    ,   ,        ,      .      .       !     ,       .     ,    !      !         ,     -   .




8


        ,       , ..  48          .   1670 . ..  5                   .   -     , ,         .    ,          ,      ,          ,    .   68          , -,    ,            n=4,          (.  II). ,  ,     ,        .




9


  2-30      :   -,    -,   ,     [9, 36].        , ..         .        1638 .   ,     1637 ???      ?         ,       ,           ?  ,                     X  [36].               2-10   :     ,     .       45-    ,   :      ,      -,     .  ,                  .




10


   ,    -  ,       ,     . . , https://cs.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/node26.html (https://cs.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/node26.html) (Did Fermat prove this theorem?).      ,    ,     , ..        .        .       ,             ,       .




11


         (John Wallis) . . 3.4.3.




12


,         ,          .           , ,  45-,     :           -   [9, 36].          ! ,     ,        .     , , ,         ,      ,     ,              . ,                ,        ,            , ,         ,       .




13


   :      ,     ,    , ?       ,        ,     ,     .         ,    ,     .      , ,   .        ,     ,      ,     ,   ,      ,   .  ,        ,            . - ,        .             ,   ,    -   ,       .




14


,         1768 .    ,    Vollst?ndige Anleitung zur Algebra       . , , (     ),  ,                , ..  .     2-      ,              .         ,   ,    ,           .




15


          ,         .   ,      ,          .             .      .  ,          ,    ,        .           .  ,                  .




16


-     ,    x   ,    y , ..   ,     i= ?-1.             1


  ,      i


 ,        .     i,       ,        .   ,                .




17


            , , 12=2?2?3, ..     ,    ,  .    ,     , , 12=(1+?11)?(1+?11)=(2+?8)?(2+?8).         .   , (  ), ,     ,   ,   ,      .




18


         IX,  14.           ,   .




19


    ,        , ..   ab ? ba [34]. ,           ,   ,       .      ,     - ,      ,      .




20


 -         ,      -?                 - ,     .      ,        ,       .       ,         .        ,      !!!




21


      ,     N       x





, ..  N=x





+ x





++ x





.         1909 ,   1920 .      ,        .    1942 .   . .    ,   .                , ..     .




22


,   ,   95800


 + 217519


 + 414560


 = 422481


;   2682440


 + 15365639


 + 18796760


 = 20615673


.       27


+ 84


+ 110


+ 133


= 144


.  ,         ,        .




23


 ,    ,       ,  .       .    ,      .




24


  ,          ,     , ..         .     ,   ,      .




25


,   , (  ),            [8],    ,    .      ,           .          ,          . - ,      ,   ,        .




26


      ,            .  ,  ,  ,         (. . 4.3)     a+bc=a


+b


c


 (. . 4.4).




27


        .       Andrew Beal,       ,      Beal ()  Bill ().




28


      15.06.1641.  :         .          ,      ,     ,       ,      ,    ,             [9, 36].      ,              , ,      ,                .




29


      ,         ,             ,     ,    .     ,     .




30


     : (a


+b


)?(c


+d


)=(ac+bd)


+(ad?bc)


 = (ac?bd)


 + (ad+bc)


.     4 + 9 = 13 and 1 + 16 = 17.    13?17 = 221 = (4 + 9) ? (1+16) = (2?1 + 3?4)


 + (2?4 ? 3?1)


 = (2?1 ? 3?4)


 + (2?4 + 3?1)


 = 14


 + 5


 = 10


 + 11


;   221


 = (221


)


 = 10793861


;     221


 = (14


 + 5


)?10793861


 = (14?10793861)


 + (5?10793861)


 = 151114054


 + 53969305


 = (10


 + 11


)?10793861


=(10?10793861)


 + (11?10793861)


=107938610


 + 118732471


;      ,    , ,  : 221


 = (14


 + 5


)?(10


 + 11


) = (14?10 + 5?11)


 + (14?11 ? 5?10)


 = (14?10 ? 5?11)


 + (14?11+5?10)


 = 195


 + 104


 = 85


 + 204


; 221


 = 221


?221 = (195


 + 104


)?(10


 + 11


) = (195?10 + 104?11)


 + (195?11 ? 104?10)


 = (195?10 ? 104?11)


 +(195?11 + 104 ? 10)


 = 3094


 + 1105


 = 806


 + 3185


; 221


 = (195


 + 104


)?(85


 + 204


) = (195?85 + 104?204)


 + (195?204 ? 85?104)


 = (195?85 ? 104?204)


 + (195?204 + 85?104)


 = 37791


 + 30940


 = 4641


 + 48620


; 221


 = 221


?221


 = (3094


 + 1105


)?(37791


 + 30940


) = (3094?37791 + 1105?30940)


 + (3094?30940 ? 1105?37791)


 = (3094?37791 ? 1105?30940)


 + (3094?30940 + 1105?37791)


; 221


 = 151114054


 + 53969305


 = 82736654


 + 137487415







31


      ,   ,       ,  ,   , ..       ,       .     ,    ?     .       ,   ,    .    ,    ,     .   ,        ,     .       , (  1750 .),     , ( ),     .      ,    -     .     ,       ,   -   , (.  IV,  1660, 1663  1680).




32


            .  ,  f(x,y,z)      x,y,z.           ,   ,  ,    ,  ,  ,        .     ,          ,       ,       .




33


     ,         .        ,    ,  ,    ..      ,   ,    ,   ,          ,   .          . 5.3.2,          ,           ,      .      ,           ,     ,     .




34


       ,       .     ,      .       , ..    ,      ,     .        -       .      ,       .




35


,  ,   ,     ,   ,      .  ,         ,       .  ,        ,       .          ,   .         .




36


                 , (  ,     .),      ,                ,   .          ,                  .      ,       ,     .       ,      ,     ,        .




37


   :

(1) 1   .

(2)     n   ,  n'  ,   n.

(3)  m' =n'  -   m,n,  m = n.

(4)  1       , .. n'    1.

(5)   1    P,     n,   P,     n'    P,       P.




38


        :

1.   <>,       . 2.    ,   , ( VII, .).




39


,        , (), ,      ,   ,     .  , ,   ,        ,       ?          ,   ,       .




40


 ,       ,        . ,   ,             .     6-     .                   .




41


      ,   . ,   ,           .   ,      , .  I.




42


       Google   MEMIRES DE LA CLASSE DES SCIENCES MATHTMATIQUES ET PHYSIQUES DE LINSTITUT DE France. ANNEES 1813, 1814, 1815: https://books.google.de/books?id=k2pFAAAAcAAJ&pg=PA177#v=onepage&q&f=false (https://books.google.de/books?id=k2pFAAAAcAAJ&pg=PA177). ,      . 177   DEMONSTRATION DU THORME GNRAL DE FERMAT, SUR LES NOMBRES POLYGONES. Par M. A. L. CAUCHY. Lu ? lAcadmie, le 13 novembre 1815 (. . 34, 35).     43 (!!!) ,        ,        .       n=7        .    ,  ,      , ..       ,         .  ,       ,   , ..    .          ,      ,       .     :   ,           .




43


      , ,       ,    .




44


 ,        ,    , ..       a


+b


=c


           ,     .      a+b=c+2m     ,              a


+b


=c


, ..   y


=x(x?a


)(x+b


)    ,          .           ,              .      ,                .               , ,  ,   a+b+c=d,     a


+b


=c


     ,      abc=d.   ,       ,    , ..          .




45


   .   ,     1993 .: Even explaining it to a mathematician would require the mathematician to spend two or three months studying that part of the manuscript in great detail        2-3       . .  Nova http://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/andrew-wiles-fermat.html (http://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/andrew-wiles-fermat.html) ,       ,       .




46


., ,    ..     ,   ..            .    ,   ,       .   .    ,    ,    ,  ,       1995 . -         ,         .




47


   3


+4


=5


         : 3


+4


+5


=6


.   .  22 .2.




48


,      -,             .                   ,    ,     .




49


         [6], [38]     ,         4n+1      .           .             25.09.1654 .     ,                .




50


            ,                 .  ,            ,  ,   ,      .    ,       ,     -      .      ,    ,       ,         . ., ,  30  . 2.




51


     .     16   . ,  1-  x


,  2-  16?x


.      x   ,     16-;    2x4.      4x


16x+16.    16?x


.          .  5x


  16x  x   16- .   256/25,   144/25;    400/25,  16,     [2, 27].




52


 c


=p


N


  p


, (    p





    c),      , .. p


=q


+r,   r   ,  c


=p


(q


+r)=(pq)


+p


r,       q  r ,  p


r    ,   c


       .




53


          25.12.1640 . [36, 9].    . 2-30 :   , (  4n+1),     ,     ,    ,      ..  .        .       , (. 2-20).             22  III  .           :              ;      ; -  -    ..  .    , , ,   -  ,    :      ,      ,   ,    ,         . , ,   ,      ,     ,              ! ,             ,        ,       .




54


  , ..       ,       4n+1 (  III).        ,          . ,    ,     . , .  172   IV ( 1680).




55


          .       .      ,     .            LVII 1643 . [36].  .7 -  :  ,      ,       , .          ,        ,   . .  . 5.1   73-74.




56


   (2)         .  IV   1652.         .       2008 . [30].




57


,  m=p


p


,        :

A


=p


; B


=2p


p





; A


=p


; B


=2p





p


; A


=2p


; B


=p


p







A


=2p


; B


=p


p





; A


=p





; B


=2p





; A


=p





; B


=2p










58


 (7)   . ,       1984     -    .     , ..     ,  ,        ,          ,  ,          [30].




59


    (9)   ,      (2)     ,      (8)    (2),    n.      ,    (9),              (8)     (7).      ,    ,         ,     - . ,      ,       , ..     ,    .




60


,  ?a=b?2m,      (8)    : (c ++ b)


 ? (a ++ 2m)


 = 


 ? a


 + c


b ? a


2m + c


b


 ? a


(2m)


 +  + b


 ? (2m)


; 


 ? a


 = (?a)(c++a)


; c


b ? a


2m = 2m(c


 ? a


) + c


(b ? 2m) = (c ? a)[2m(c ++ a)


 + c


]; c


b


 ? a


(2m)


 = (2m)


(c


 ? a


) + c


(b


 ? 4m


) = (c ? a)[4m


(c++a)


 + c


(b + 2m)]; b


 ? (2m)


 = (b ? 2m)(b ++ 2m)


 = (c ? a)(b ++ 2m) 


;   ,    ,     : c


b


 ? a


(2m)


 = (2m)


(c


?a


) + c


[b


?(2m)


] = (c ? a)(c ++ a)


(2m)


 + (b ? 2m)(b ++ 2m)


c


 = (c?a)[(c++a)


(2m)


+(b++2m)


c


];   ,    ( ? a)   .       a+b=c+2m.        n.     (10)    A


B


C


D


 = (2m)


,  A


 = c?b = a ?2m; B


 = c ? a = b ? 2m; C


 = a + b = c + 2m; D


    n ? 3 [30].




61


 (10)      (1), .. {a


+b


?c


}=0,           -.   ,    ,        ,  A


B


 = 2m


   E


 = 2


m


,   E


         - ,    n?2, (      c?a),          .       ,       , .. E


     , (a, b, c, m)   A


B


      .




62


            (10),     .             . ,  [30]            .  ,    (1)       , ..        ,   .         ,   ,   .       ,          (2),      (4), (5), (6),     (7)  ,  ,      . 4.4!!!


