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       shutterstock.com



 Arthur Benjamin, 2015

    BASIC BOOKS, an imprint of PERSEUS BOOKS LLC. ()      ()

    , , .   , 2016



  .      .                        ,         ,           .             5.  (. 49 ),            6  (. 146  ).


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, ,  ,           [2 -     (17771855)   , , , . . .]. -              1  100.      ⠖ , :   -     ,      .    ,            5050.  ,    ?          : 頖  1  50, 頖  51  100,         ,  :








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      ,       .  ,     17  ?  ? ?       n ,  n    !       ,     .  ,  1, 3, 6, 10  15   ,  ,     ,    ,  ,     (,         ,   1,   ,    ).  ,   n  1 + 2 + 3 + + n.








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     5   6 ⠖  30 . ,           ,    15 . , , ,  ,         ,      n.         n   n + 1 .     n ? (n + 1)      蠖 n(n + 1).     ,      n:








, ,        ,      ,       .            1  1 000 000,        :  1 000 000  1 000 001    .

   ,       . ,       ,    n :




2 + 4 + 6 + + 2n=n(n+ 1)


     ,  ?  ,    .








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   5 ? 5 = 25,  .    .        .   3 ,  5,  7 , , 9. ,




1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25


      n  n,       n-  L- ,       1, 3, 5., (2n 1) .      n 




1 + 3 + 5 +  + (2n 1) =n?




         (        ),   ,          .         . , , 3 ? 5 = 5 ? 3? ,       :      ,         (, ,    ).           ,       ?            3  5.    ,   3 ,     5 ,      3 ? 5 .   ,    ,   :  3     5 , ,   5 ? 3.







      ,   .       ,         ?

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   ?       : 3, 5, 7, 9, 11   .   :    ࠖ   ,  5   ⠖   .  : 1, 4, 9, 16, 25   ?   .    ?    : 3 + 5 + 7 + 9.     ,        ࠖ   5  , ,    ,  5?.

    ,     .     ?        25,     5 ,       5 ,     .








        25    .     25,    .         ,     .         ,  ,      .






    ,    .  n   ,  3 + 5 + 7 + + (2n 1) = n? 1,          n?,    n  ,  n? + 1  n? + n. ࠖ n  ,   n? + n + 1,  n? + 2n.       n? ,  ,    n    n ,      .     n ? n,   n?.     n? , -      .


   .    ,      .   ,  ,       ꠖ  ,    .

  ,  3 + 5 = 8,  7 + 9 + 11 = 27,  13 + 15 + 17+ 19 = 64.    1, 8, 27  64?      ! ,        ,  :









21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 5 ? 5 ? 5 = 5?


   ,      n   n?.      ?     ?     ,      1, 3  5 .   ? 1, 9  25.   .   2  4   ,     2    3  5,    4,     4 ࠖ 15  17    16.  ,     .

  4 .    ?   ,        5?       ,  :      25.      렖 5?,    5? + 5? + 5?+ 5? + 5? = 5 ? 5?,   5?.       4 :      젖 4?,  ࠖ 4?. -  (     ),     ,    n   n  n?,     n?,    .

,        ,   ,        .  ,    ,   1??








  ,   1, 9, 36, 100, 225  .. ,    .     ,   1, 3, 6, 10, 15  ..  !   ,         ,  ,




1? + 2? + 3? + 4? + 5? = 225 = 15? = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)?


 ,    n        n .      ,    6   .




    



    , ,    , :  , ?!      ?       ,      :     ,   ?       ,     .  -     .

  ,       (      ).     ,     20 (10  10, ,  9  11),  ,      ,    ?  ,   10  10,     .








   .       ,    .      100?  1,  4,  9, 16, 25    1?, 2?, 3?, 4?, 5?  ..     ,      ,   .    26:








   ,        .         1,  4,  9  ..      ,     (      ).    ,          .

,     13.     13 ? 13,    : 10 ? 16 = 160.      ,    ,       3 ,    13  ,   .  :




13? = 10 ? 16 + 3? = 160 + 9 = 169


    , , 98 ? 98.       2  100,     2  96. ,       2?.   :




98?= 100 ? 96 + 2? = 9600 + 4 = 9604


      ,    5:       5,    . :




35? = 30 ? 40 + 5? = 1200 + 25 = 1225


55? = 50 ? 60 +5? = 3000 + 25 = 3025


85? = 80 ? 90 + 5? = 7200 + 25 = 7225


       59.       ,  59? = (60 ? 58) + 1?.      60  58?     :  .     0   6 ? 58: 6 ? 50 = 300  6 ? 8 = 48.      ( ,  )   348.     ,   60 ? 58 = 3480. :




59? = 60 ? 58 + 1? = 3480 + 1 = 3481




      (    ,         ):


? = (A+d) (Ad) +d?

 A ,   , d      (, ,    d).      59:  = 59, d = 1, ,    (59 + 1) ? (59 1) + 1?,     .


,        ,    .  , 12? = 144, :




112? = (100 ? 124) + 12? = 12 400 + 144 = 12 544


    ,      ,   . ,      ,  ,     . , , 104 ? 109.       ,      (.  ).            : 104 + 9 = 113.      : 4 ? 9 = 36.   ,        蠖 !    : 11 336.








          ,   2. ,      , -     .      ,    ,        . :                  ?      ,         ,        ,     ,  ,    .  -,   -    ,       . ,        ,       .

 ,     , ,      ,      ,   ,     .  ,      :   .   堖    .     , ,   ,         ,     .




  


,    -, 




314 + 159


(       ,       .)   314,  ,   :




414 + 59


 50  414  .  :




464 + 9 = 473


      .    ,   :        .        . ,  , 




$23,58 + $8,95


$8,95  $9   5 ,      $23,58  $9,    $0,05.  ,    :




$32,58 $0,05 = $32,53





  


     堖  ,  .     9,    10,     . ,




83 9 = 73 + 1 = 74


,     39,  40   1.




83 39 = 43 + 1 = 44


 -   (, ,   )       (       ).       ,   ,      .  ,   ,       9:      1,   젖 10 (     ).      100.    ,   ,   100.   ?








   87 13,  75 25   .  :    13 87,   25 75.      ,   ,     ( )       9,    10.    ,     0 (   ):    80  20.

     1234 567.       堖    ,       .             !     567,  600.   ,     : 1234 600 = 634.      ,   ?   ?     567  600  ,    67  100,    33. ,




1234 567 = 634 + 33 = 667


,  ?          .        ,       ,   :








   (     0)       9,    ,  10. ,  789: 7 + 2 = 9; 8 + 1 = 9; 9 + 1 = 10. ,  ,   ,  : 9 7 = 2, 9 8 = 1, 10 9 = 1.       .      , ,  $6,76.  ,   ,     $10?        1000   676 324. ,   $3,24.






 ,  ,  - ,    ,         (26? = 676,  18? = 324).   :      ,     1000.   ?





  


  ,   ,     ,   ,     .  젖   ( ,     )   ,       .  :  ꠖ   . , , 8  24,   8 ? 20,  젖 8 ? 4:




8 ? 24 = 8 ? 20 + 8 ? 4 = 160 + 32 = 192


 ,    -   .   堖  ,       .   ,             . ,   456 ? 7       2800 + 350,  젖  42.








    ࠖ    .   ,  -    ,   ,  ,     ,     .  ,           .    : 32 ? 38.

  (      ) 䠖   ,      .        ( ,     ) ,      ,    . ,




32 ? 38 = (30 + 2) ? 38 = 30 ? 38 + 2 ? 38 =


   30 ? 38?   3 ? 38,     0.   3 ? 38 = 90 + 24 = 114,  30 ? 38 = 1140.   2 ? 38 = 60 + 16 = 76.  




32 ? 38 = 30 ? 38 + 2 ? 38 = 1140 + 76 = 1216


     (        7, 8  9)   .    ,  38 = 40 2,  ,




38 ? 32 = 40 ? 32 2 ? 32 = 1280 64 = 1216


  ⠖  ,      ,           ( 1140  1280),    .    .        ,    ,            .     32  8  4. ,




38 ? 32 = 38 ? 8 ? 4 = 304 ? 4 = 1216


    32  4  8,  38 ? 4 ? 8 = 152 ? 8 = 1216,           ,    ( )  .






       11   ,          :              .    53  11: 5 + 3 = 8, ,   583.   27 ? 11 ? 2 + 7 = 9,    297.     9,     ,        . , 48 ? 11 ? 4 + 8 = 12, ,   528.  : 74 ? 11 = 814.        ,  11, ,


74 ? 33 = 74 ? 11 ? 3 = 814 ? 3 = 2442


  䠖  .   ,   ,   ,       .       .       , 




38 ? 32 = (30 ? 40) + (8 ? 2) = 1200 + 16 = 1216


  ,         10 (   :     3,      8  2  10).    :




83 ? 87 = (80 ? 90) + (3 ? 7) = 7200 + 21 = 7221


         10,         ,         .  , , 41  44,         (     40) , ,       :




41 ? 44 = (40 ? 45) +(1?4) = 1800 + 4 = 1804


 34 ? 37  4  34 (  30)    37 (37 + 4 = 41),    4 ? 7:




34 ? 37 = (30 ? 41) + (4 ? 7) = 1230 + 28 = 1258


,     104 ? 109?      :




104 ? 109 = (100 ? 113) + (04 ? 09) = 11 300 + 36 = 11 336


  , ,       ,   10,    20.       :




17 ? 18 = (10 ? 25) + (7 ? 8) = 250 + 56 = 306


   ,    ,  ?  ,    堖      2.        . ,          :




18 ? 17 = (20 ? 15) + ((2) ? (3)) = 300 + 6 = 306


,   :          (     , ?).      ,     :        ?  , :       - ,   ?          .




   .   


     ,      ,   -      :

)      ,     ,      ?

  :

)    ,      ?

       ,       ,    ,    ,    . -,   ,    ,          . ( ,      ,      3,     ,     : 30  300 000    3 000 000?)








   ()     .  ?    100 ? 100 = 10 000 (  ). 頖 999 ? 999,       1000 ? 1000 = 1 000 000 (  ).   999 ? 999 , ,      (, , ,    : 9992 = (1000 ? 998) + 12 = 998 001.)   :       -   .

   ()     . ?    1000,      10? (   ).    10 000,  10


. ,   10?  10


  10


    ,  . (  10


? : 10? ? 10


 = (10 ? 10 ? 10) ? (10 ? 10 ? 10 ? 10) = 10


.)      ,     10


 ? 10


 = 10


,   .

      : m-  n-  ,  m+nm+n 1 .

       ,    ( )   .       10,     m + n  (,  271 ? 828     2 ? 8 = 16  ,     ).         4,     m + n 1  (, 314 ? 159    ).    ,         5, 6, 7, 8  9,      . ,  222  444 ,   234  456 .    ,       100 000.

        ,    : m-  n-  ,  m nm n+ 1 .

   ,   ,   -   .        ,     .       ,      .          ,       (m n).           ,     (m n + 1) .      ,           . ,    314 159 265  12 358    ,   62 831 .  161 803 398  14 142   ,   16  14.

           :           (      ,    ).    ,     .

,     5 (   ,   5),    ,    . ,








     ,   246,  9  3 (       3),           3.






        1  10:


1/2 = 0,5; 1/3 = 0,333; 1/4 = 0,25; 1/5 = 0,2;


1/6 = 0,1666; 1/8 = 0,125; 1/9 = 0,111; 1/10 = 0,1

    ,           .       1/7,       :


1/7 = 0,142857142857

(    ,      2  11   10, 100, 1000, 9, 90  99,     7 999 999.)       1/7   ,  :







 ,      1/7                 .  :


1/7 = 0,142857142857; 2/7 = 0,285714285714;


3/7 = 0,428571428571; 4/7 = 0,571428571428;


5/7 = 0,714285714285; 6/7 = 0,857142857142


      ,       .         ?     堖  ,        .        ,      ,          .

   ࠖ      .   ,      ,     :




1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55


,   .     :




2 + 4 + 6 + + 20 = 2 (1 + 2 + 3 + + 10) = 2 ? 55


   , 3    3 ? 55.   ,   ,            :




(1 + 2 + 3 + + 10) ? 55 = 55 ? 55 = 55?


     55         3025!




  

 








  


        堖        :

,   . ࠖ    .   ,      . , : 2 + 3 = 5,  3 + 6 = 9. ?

, .

 ,  .     3? + 4??

7?,   .

-    ,  .  ?

!!!  .

   !    .    ,      ,         .

    ,       ꠖ  , .

 1.    1  10 (,   ,   ).

 2.     2.

 3.  10.

 4.   2.

 5.       .

,  5. ?

 ,     ?  .    ,   ,   .    ,    ,      N.  ,  ,  .

      ,   ,  ,  2N (     ,     ,             x).        2N + 10.      ,      2: N + 5. , ,     (  N): N + 5 N = 5.       :









 


  .  ,      ,     5.

  ,      .      + 5, 堖 3.  ,      ,     




3x=x+ 5


         




2x= 5


(,   2x: 3x x  ,   3x 1x,   2x).      2:




x= 5/2 = 2,5


   : 2,5 + 5 = 7,5,    ,  2,5  3.






    ,         .    ,       (, 842  951).             .       ,      ,      .     853:





  .


   .

   ,     (https://www.litres.ru/artur-bendzhamin/magiya-matematiki-kak-nayti-x-i-zachem-eto-nuzhno/)  .

      Visa, MasterCard, Maestro,    ,   ,     ,  PayPal, WebMoney, ., QIWI ,       .



notes








1


  ࠖ     , ,      . . .




2


    (17771855)   , , , . . .


