  .      
  


 ,      .           :        ,           .        .            ,           .            .

   .   ,   ,        .            ,          .     . ,      ,      ,       ,     .        .       ,              .   .       .      ,   ,          ,   . (  )

  PDF A4   .





  

  .      


   ,     ,       



Marcus du Sautoy

THINKING BETTER

The Art of the Shortcut



 .. , . .-. .



 Marcus du Sautoy, 2021

  . .,    , 2022

    .    -, 2022








* * *



     ,                  .  , ,           !

 ,    



       ,          ,        ,   .

 , The Financial Times



               .           .

Publishers Weekly



      .        ,    .

 ,    . ,  








   .   ,   ,        .            ,      -    .     . ,      ,      ,       ,     .        [1 -   shortcut,    ,       .      ,       .         :     ,  ,   ..          ,   (   ),      ,   .   ,    , . .].       ,             . ,      . ,      ,      .   .       .      ,   ,          ,   .

     .    ,         .      .     ,     . ,      , ,    ,     ,      ,    .             .     1786,            ,     .   ,       ,  ,    -       -  .

  ,     ,    ,          .      ,  ,        .   ,    ,     ,      ,     .       ,   , -,     .

 , ,           -  ,     ,      .   ,          1  100,  .  ,   .

     ,              ,  -: Ligget se .    ,   .      ,      ,       ,       .        ,        ,    .    ,   ,    .    : -          .

        .      , ,   ,       5050.      .   .       ?

,        ,          .  ,      :



1+ 100

2 + 99

3 + 98




     101.      50. ,    



50? 101 = 5050.


 ,     .  ,     ,       ,     .

       , ,  ,  ,         :       ,    ,   [2 -     :     , ,   . , ,        ,   .].

,   ,   ,   .  !

!  , .  - !




, , 


    .     .       .     ,    .    ,       ,     ,     , ,   ,  ,   .

   ,   ,    ,           ,  ,     ,    .  -   ,         ,    ,    .    ,     .            ,    ,      .                ,   ,      .           .     ,     .

   ,     ,   .    ,      ,    .       ,           ,         .                ,  -    ,       .

    ,    , .    ,  ,       ,      ,             .

        ,    ,         .         ,     .         .         ,        ,               .

     5000     .        -   .       ?        ,   ?          ?      ,    ,       .                 ,    ,    .

          .         ,  ,  ,  ,         .       ,     ,       ,        ,  -,    ,     ,        .

  ,               .            .        ,      .    ,     ,            , .    ,    :    ,         [3 -   .] , ,   .    ,     ,   ,    .     ,           .

 ,   ,     .    XVIII     ,      .      .        .  ,  ,       ,   .




 


          ,  ,    ,     .           ,    .      :    ,     ,  ,           .

       .       , ,   ,      .  ,   ,       ,      ,        .

 ,      ,     ,  ,    ,    ,    ,       - ,  .        ,         .      ,             .

         .  ,         .   ,   !  ,     ,      .

            ,  , [4 -      , , ,  ,    .        , , , , , , ,  ..    pattern       3  .].       .  ,   ,     .         .

        ,       .     ,                ,  -  .        ,        :       ,   -       500 000 ,       1 000 001.    ,   !  .   ,     :    -   ,      .

         .      ,            .           ,      .       .  ,      ,      .       :   .       .

 ,      ,    ,     - .     - .            .        .       .     ,     .

      ,      .         . ,  뻠       ,    .            .          ,               .       ,      ,     .

  ,           . ,      .      , , ,      ,    ,  ,     .      .  ,      ,        . ,     ,              .

      ,  ,   [5 -    .].             .                .              .     ,                . ,     .

       ,  .                 ,      .      ,  ,      .      ,     :   ,            ,        ,      .

       ,    .   ,     ,    ,     ,       .  ,        ,   . , ,   ,      ,  ,    .     ,     ,    ,   :       , ,    ,         .         ,    ,   ,       .      , ,         ,   ,         .    ,   ,   ,   ,   .  -   ,  ,    .

,  ,  ,    ,    .  ,    .  ,   .  ,     ,   .       ,      ,    ?    ,       ?       ,   ,   ,       .

 -       .       ?         ,  ,    ,   .       .        ,      .        .          ,    .                 ;      .        ,      .   ,         .    .            .         .

      .         ,     ,       .         ,       ,     .     ,      ,    ,       [6 -      4-  1-  .].                     [7 - The Simpsons, S06E04, Itchy & Scratchy Land (1994).].  ,      ,     2000   : ,  ,    .    ,     .            .       ,  .




  


  ,          ,    ,    -    ,     .

    ,          ,     .        ,        .        ,        .      ,  , ,      .

      ?   ,       1  100     ?

                  ?    2013    -,       ,         ,       .         ,            .

, ,          .   ,       ,                  ,   -     ,      .

     ,    .      ,  -  ?    ,           .    ,    ,     ,   ,     .

, !  ,        .    ,     ,    .      -   :    ; -     - .  , ?     :   ,       ,    .   ,       , , ,    ,      .       ,       .

      ,        .      . ,           ,        ,   .       ,          ,   .  :     .     .     .    ,     .      ,    -  .  ,      General Electric,          .

   .   .      .     .   ,           ,       , ,  ,       ,   ,   .      ,        , ,   ,    .    ,       ,     [8 -      (The Critic as Artist, 1891), . . . . . . :  . . .:  3. .:    , 2003. .3.].

      .  2012      (Perspectives on Psychological Science)        (Rest Is Not Idleness),   ,          .    ,        .               .       ,  .            ,  ,   .      ,               ,     .

 ,      ,          ,      .   ,     ,   ,      ,     .  ,         ,      .

    .        :     ,   ,     ,  ,    [9 -      (The Idler),     Universal Chronicle   1758   1760.].      ,     ,   ,   .   [10 - . :  .  / . . . , . . .: , 1999.]. ,   ,      -    ,      ,        [11 - - (home run)  ,          ,           .        , -  .].




 


   ,     .    ,   ,   .    .    .    .      ,  .         (??????),      ,   (???????),   ,     [12 -  ,       蠫.           (??????),   ,    .].         ,    ,       , -,   .  ,        .  ,    , , ,   .      .       ,      .

             ,               ,       ,    .    .   ,    ,       ,      ,      .                   .       ,      ,      [13 - . :  .    //  :  2. / . . . . .: ,    , 1940. . II. .453.].        ,     ,   ⠫ [14 - . :  . .   . /. . . . -, . . .3. .1 2. .:    , 1951. .833.].

    ,       ?        ?  ?   ?     ,                  .        ,  ,               , ,     ,     .

   ,       ,  ,         .     ,   ,             .      ,     .           ?        .    ,       ,      ,   ,    ,  .        ,  ,   (   -),            .

,     ,          1  100,         .           ,    ,    ,      [15 -  ,       ,  . . : 1808  1820.     .].             ,         .     ,   ,       .

  ,         .         .        ,               ,     .         ,               .

          .             ,      ,      ,   .               ,       .       .




1

 






       15       ? ,  ,        ?          -    ?    ,       [16 - -     .    ,      ,         , ,      .]     ,     ,   ,  - ?     ,       ?

             ,  .    .                 :      ,    .      ,    ,  , ,    ,     .    .   ,          .

   ,         ,     .  ,    ,           ,      .    .

   ,  , ,     ,      . ,    ,             2008.             ,      .         .  , ,     ,   ,   ,      ,     ,    .

                    .




 


  , 1801      ,    -   .   ,              XIX.

       :   (      ),  ,   ,    .    ,   .

  ,   24-    ,  ,    .   ,      ,     ,    .       ,   ,   .

            ,              .       2000,    ,          .      ,     ,              .       .     ,      , ,   ,   ?        .

,         .   .     .    ,   ,   ,     ,  ,      . ,        .                   ,    ,       .

        .       .                  ,         .        .  ,  1503,         ,    ,      ,       .        ,       .




  


     ,  , ,    :            .     ,       .         ,         .      .        .   .     ,                .

  ,     ,   ,   .       ?



1, 3, 6, 10, 15, 21 


   . , , ,           .    21 + 7,   28.    ,      ,     :          .    ,    ,     99?  ,    ,    ,         1  100.       ,   .    ,     n-  ,     :



1/2 ? n ? (n + 1).


         ,          .  ,         10 1796     !,    :



num = ? + ? + ?.


     :             . , 1796 = 10 + 561 + 1225.        :    ,       ,        ,      ,        .

   .     :



1, 2, 4, 8, 16 


  .    32.       .  ,    ,    ;   ,     .  ,     .  , ,   ,      ,      .           ,         .      .      1 + 2 + + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255  .        .

          ,     .    ,   280 000  .      .         ?       ,        .     :    64  .       ?        ?

      ,      ,     .   ,      ,    .         :   .        ;      3,           .

     ,   :



2? (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + + 2


 + 2


).


 ,     .  ,    .  :



= 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + + 2


 + 2


.


   .       .    ,      ,  : 2ՠ  = .    ?   ,    2   ,    :



2X  X = (2 + 4 + 8 + 16 + 32 + + 2


 + 2


)  (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + + 2 


 + 2


).


    !    2


    1  .  ,      :



X = 2X  X = 2


  1.


          ,     ,     ,    :



18 446 744 073 709 551 615.


   ,        .   ,            ,       .

      ,     ,      .    .      ,   ,   .     ,  1000   5     .        1050 .     ,           1,05.       3225 .       18 679 .     ,   .

 ,        , ,        . ,    ,     ,       ,    ,      .         ,           ,   ,         .

                  2020.        ,       .

         ,    ()  .  ,          .    ,  ,    ,   .     ,   ,     .

     6,7  .     .    ,    33  -       .

  ,   -   ,       ,     .     , ,           :       . ,       .         ,    ,         .

   .      ,         .    ,   : ,        18  ,    ,       . ,               , ,           [17 -      Count von Count         (count) 蠫[] (count).].




 


     .       ?



179, 430, 1033, 2478, 5949 


      .    2,4.  -  ,    ,  , ?      .

  ,      250 000, 500 000, 1 , 2  4  . ,          ,     .   ,     . -,         40 !         .

      , -- ,   ,       .    ,        ,       -  .     ,  ,   .       ,    ,       .      ,       ,   ,  .

 ,         -  ,    .             ,    ,   . ,          15 . ,      1       2 ,  ,  ,  , ,          :      15.

     .    ,        ,     ,   ,      2 ,     15  ,     ,    1  .      ,  4  ,     15 .   ,    ,      .

      ,       .       .  ,    ,    ,        ,         .

          ,  -,      ,       ,    .  ,  ,   ,    ,     .               -.     ,      ,    .           ,    -  ,        .

   ,   ,    -,      :    ,    ,  ,      ,    ,      ?

 ,        ,         .         ,      ,  ,   . ,        ,  ,     ,       ,    ,    .  ,     ,    .

          .   ,                ,  .       ,  ,  , ,      .         .          ,       .     ,    .        ,   ,         ,                15[18 -            :  . :   , ,     , ,     / . . . . . .:  , -, 2018.].

     50   .     ,     ,       . -,      ,    ,   . ,       .        ,      15      .

      ,    . ,         :    .   , ,        15 .  ,            ,   ,    .

 ,         . ,          . ,  ,        5- ,        ,    10  ,      ,       15.     15 .

        ?   -     ,             ?

 ,      ,   ,   ,        ,   ,    .    ,     ,     ,  .   ,     ,     .

,        ,       ,      . -,   ,  ,    ,    .   .     ,       .

               ,  ,      .      N,         ,     N .        1  N.   1   ,   ,  N  1 .        2.      1,       N  2 .    ,           .        1  N  1.   !    ,   .        :



1/2 ? (N  1) ? N.


       N?    ,   2      4 .       .

   ,            .      ,    , ,           ,     .       ,     .    ,           .             .

,           .       ,       .     ;      .

  ,      -     .               . -,        ,           15 .        ,        ,         .




 


    ,     .      , , , , ,   .           .   ,      :



1, 2, 4, 8, 16 


,    ,         32, 31?

  ,            ,     ,      ?    ,          .     ,     ,      .   .    ,   ,   ,    :   .






.1.1.    



     , ,   .     ,       :



1, 2, 4, 8, 16 


    ,       .    ,    ,      .   ,  ,     ,   31.    32!






.1.2.   



    ,    ,   .     N ,   ,   ,   , 



1/24 (N


  6N


 + 23N


  18N + 24).


  :  ,     ,       .      ,        ,    .

       .        ?



2, 8, 16, 24, 32 


    .      24?  ,    ,       47,          .       ,  26 2007.      ,     ,     .     .  .   .      .    8  ,       ,       .     ,     .

         ,   -  ,          .




   


        ,       .       ,        .       ,   JPEG  MP3.




  .


   .

   ,     (https://www.litres.ru/du-sotoy-markus/iskusstvo-myslit-racionalno-shortkaty-v-matematike-i-v-zhi/)  .

      Visa, MasterCard, Maestro,    ,   ,     ,  PayPal, WebMoney, ., QIWI ,       .



notes








1


  shortcut,    ,       .      ,       .         :     ,  ,   ..          ,   (   ),      ,   .   ,    , . .




2


    :     , ,   . , ,        ,   .




3


  .




4


     , , ,  ,    .        , , , , , , ,  ..    pattern       3  .




5


   .




6


     4-  1-  .




7


The Simpsons, S06E04, Itchy & Scratchy Land (1994).




8


     (The Critic as Artist, 1891), . . . . . . :  . . .:  3. .:    , 2003. .3.




9


     (The Idler),     Universal Chronicle   1758   1760.




10


. :  .  / . . . , . . .: , 1999.




11


- (home run)  ,          ,           .        , -  .




12


 ,       蠫.           (??????),   ,    .




13


. :  .    //  :  2. / . . . . .: ,    , 1940. . II. .453.




14


. :  . .   . /. . . . -, . . .3. .1 2. .:    , 1951. .833.




15


 ,       ,  . . : 1808  1820.     .




16


-     .    ,      ,         , ,      .




17


     Count von Count         (count) 蠫[] (count).




18


           :  . :   , ,     , ,     / . . . . . .:  , -, 2018.


